W geometrii płaskiej kluczową umiejętnością jest obliczanie pól powierzchni i obwodów różnych figur. Znajomość tych wzorów jest niezbędna nie tylko do rozwiązywania zadań matematycznych, ale ma również praktyczne zastosowanie w życiu codziennym – od projektowania wnętrz, przez budownictwo, aż po sztukę. W tym artykule przedstawimy najważniejsze wzory na pola i obwody figur płaskich, które powinieneś znać w klasie 8.
Kwadrat
Kwadrat to figura o czterech równych bokach i czterech kątach prostych.
Obwód kwadratu:
\[ O = 4a \]
gdzie \(a\) to długość boku kwadratu.
Pole kwadratu:
\[ P = a^2 \]
gdzie \(a\) to długość boku kwadratu.
Przykład: Jeśli kwadrat ma bok długości 5 cm, to jego obwód wynosi \(O = 4 \cdot 5 \text{ cm} = 20 \text{ cm}\), a pole \(P = 5^2 \text{ cm}^2 = 25 \text{ cm}^2\).
Prostokąt
Prostokąt to czworokąt o czterech kątach prostych i przeciwległych bokach równej długości.
Obwód prostokąta:
\[ O = 2a + 2b = 2(a + b) \]
gdzie \(a\) i \(b\) to długości boków prostokąta.
Pole prostokąta:
\[ P = a \cdot b \]
gdzie \(a\) i \(b\) to długości boków prostokąta.
Przykład: Jeśli prostokąt ma boki długości 4 cm i 6 cm, to jego obwód wynosi \(O = 2(4 \text{ cm} + 6 \text{ cm}) = 20 \text{ cm}\), a pole \(P = 4 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2\).
Trójkąt
Trójkąt to figura płaska ograniczona trzema odcinkami.
Obwód trójkąta:
\[ O = a + b + c \]
gdzie \(a\), \(b\), \(c\) to długości boków trójkąta.
Pole trójkąta:
1. Ze wzoru podstawowego (wysokość i podstawa):
\[ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \]
gdzie \(a\) to długość podstawy, a \(h_a\) to wysokość opuszczona na tę podstawę.
2. Ze wzoru Herona (gdy znamy długości wszystkich boków):
\[ P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
gdzie \(p = \frac{a+b+c}{2}\) to połowa obwodu trójkąta (tzw. półobwód).
3. Dla trójkąta równobocznego:
\[ P = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \]
gdzie \(a\) to długość boku trójkąta równobocznego.
Przykład: Obliczmy pole trójkąta o bokach długości 3 cm, 4 cm i 5 cm.
Półobwód \(p = \frac{3+4+5}{2} = 6\) cm.
Korzystając ze wzoru Herona: \(P = \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-4) \cdot (6-5)} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6\) cm².
Równoległobok
Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są równoległe i równej długości.
Obwód równoległoboku:
\[ O = 2a + 2b = 2(a + b) \]
gdzie \(a\) i \(b\) to długości sąsiednich boków.
Pole równoległoboku:
\[ P = a \cdot h_a \]
gdzie \(a\) to długość podstawy, a \(h_a\) to wysokość opuszczona na tę podstawę.
Można też obliczyć pole równoległoboku znając długości jego przekątnych \(d_1\) i \(d_2\) oraz kąt \(\alpha\) między nimi:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin{\alpha} \]
Przykład: Równoległobok ma podstawę długości 8 cm i wysokość 5 cm. Jego pole wynosi \(P = 8 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 40 \text{ cm}^2\).
Romb
Romb to równoległobok o wszystkich bokach równej długości.
Obwód rombu:
\[ O = 4a \]
gdzie \(a\) to długość boku rombu.
Pole rombu:
1. Z wysokości i boku:
\[ P = a \cdot h \]
gdzie \(a\) to długość boku, a \(h\) to wysokość rombu.
2. Z przekątnych:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \]
gdzie \(d_1\) i \(d_2\) to długości przekątnych rombu.
Przykład: Romb ma przekątne długości 6 cm i 8 cm. Jego pole wynosi \(P = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = 24 \text{ cm}^2\).
Trapez
Trapez to czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych (nazywanych podstawami).
Obwód trapezu:
\[ O = a + b + c + d \]
gdzie \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) to długości kolejnych boków trapezu, przy czym \(a\) i \(c\) to podstawy.
Pole trapezu:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h \]
gdzie \(a\) i \(c\) to długości podstaw, a \(h\) to wysokość trapezu (odległość między podstawami).
Przykład: Trapez ma podstawy długości 10 cm i 6 cm oraz wysokość 4 cm. Jego pole wynosi \(P = \frac{1}{2} \cdot (10 \text{ cm} + 6 \text{ cm}) \cdot 4 \text{ cm} = \frac{1}{2} \cdot 16 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 32 \text{ cm}^2\).
Deltoid (latawiec)
Deltoid to czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równej długości.
Obwód deltoidu:
\[ O = 2a + 2b \]
gdzie \(a\) i \(b\) to długości nierównych boków deltoidu.
Pole deltoidu:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \]
gdzie \(d_1\) i \(d_2\) to długości przekątnych deltoidu.
Przykład: Deltoid ma przekątne długości 5 cm i 12 cm. Jego pole wynosi \(P = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} = 30 \text{ cm}^2\).
Koło
Koło to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu (środka) nie przekracza ustalonej wartości (promienia).
Obwód koła (długość okręgu):
\[ L = 2\pi r = \pi d \]
gdzie \(r\) to promień koła, \(d = 2r\) to średnica, a \(\pi\) (pi) to stała matematyczna wynosząca w przybliżeniu 3,14.
Pole koła:
\[ P = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4} \]
Przykład: Koło ma promień 7 cm. Jego obwód wynosi \(L = 2\pi \cdot 7 \text{ cm} = 14\pi \text{ cm} \approx 44 \text{ cm}\), a pole \(P = \pi \cdot (7 \text{ cm})^2 = 49\pi \text{ cm}^2 \approx 154 \text{ cm}^2\).
Zestawienie wzorów
| Figura | Obwód | Pole |
|---|---|---|
| Kwadrat | \(O = 4a\) | \(P = a^2\) |
| Prostokąt | \(O = 2(a+b)\) | \(P = a \cdot b\) |
| Trójkąt | \(O = a+b+c\) | \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\) lub \(P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) |
| Równoległobok | \(O = 2(a+b)\) | \(P = a \cdot h_a\) |
| Romb | \(O = 4a\) | \(P = a \cdot h\) lub \(P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\) |
| Trapez | \(O = a+b+c+d\) | \(P = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot h\) |
| Deltoid | \(O = 2a+2b\) | \(P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\) |
| Koło | \(L = 2\pi r\) | \(P = \pi r^2\) |
Kalkulator pól i obwodów figur płaskich
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć pole i obwód wybranych figur płaskich. Wybierz figurę, wprowadź wymagane dane i kliknij „Oblicz”.
Kalkulator figur płaskich