Trygonometria pojawia się na maturze zarówno w zadaniach z geometrii płaskiej (głównie trójkąty prostokątne), jak i w zadaniach z funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens) oraz w zadaniach z układami równań czy wyrażeniami algebraicznymi. Poniżej znajdziesz uporządkowane i wyjaśnione wzory trygonometryczne potrzebne na maturze, wraz z przykładami i prostymi narzędziami do ćwiczeń.
1. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
Podstawowym miejscem, gdzie poznajesz trygonometrię, jest trójkąt prostokątny. Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny z kątem ostrym \(\alpha\). Oznaczmy:
- \(c\) – długość przeciwprostokątnej,
- \(a\) – przyprostokątna przeciwległa do kąta \(\alpha\),
- \(b\) – przyprostokątna przyległa do kąta \(\alpha\).
Wtedy definicje funkcji trygonometrycznych są następujące:
\[
\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{a}{c}
\]
\[
\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{b}{c}
\]
\[
\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \frac{a}{b}
\]
\[
\cot \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przyprostokątna przeciwległa}} = \frac{b}{a}
\]
Na maturze najczęściej wykorzystujesz \(\sin\), \(\cos\) i \(\tan\). \(\cot\) (cotangens) pojawia się rzadziej, ale warto znać relacje między tymi funkcjami.
Przykład 1 – obliczanie długości boku z definicji sinusa
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha = 30^\circ\), a przeciwprostokątna ma długość \(c = 10\). Oblicz przyprostokątną przeciwległą do kąta \(\alpha\).
- Z definicji: \(\sin 30^\circ = \dfrac{a}{c}\).
- Wzór: \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\).
- Podstawiamy: \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{10}\).
- Mnożymy stronami: \(a = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5\).
Odpowiedź: przyprostokątna przeciwległa ma długość \(5\).
2. Związek między funkcjami – podstawowe tożsamości
2.1. Z twierdzenia Pitagorasa do wzoru \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
W trójkącie prostokątnym z przeciwprostokątną \(c\) i przyprostokątnymi \(a\), \(b\) mamy:
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
Dzielimy obustronnie przez \(c^2\):
\[
\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1
\]
ale \(\dfrac{a}{c} = \sin\alpha\), \(\dfrac{b}{c} = \cos\alpha\), więc:
\[
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
\]
To jest jeden z najważniejszych wzorów trygonometrycznych na maturze. Często służy do uproszczeń i podstawień.
2.2. Tangens i cotangens przez sinus i cosinus
Z definicji w trójkącie prostokątnym:
\[
\tan \alpha = \frac{a}{b}, \quad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \quad \sin \alpha = \frac{a}{c}
\]
Stąd:
\[
\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
\]
\[
\cot \alpha = \frac{b}{a} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
\]
Na maturze często używa się zapisu:
\[
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
\]
2.3. Wzory przekształcające z użyciem \(\tan\alpha\)
Z tożsamości \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) i \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) można uzyskać inne ważne związki:
\[
1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}
\]
\[
1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}
\]
Te wzory są przydatne raczej w zadaniach bardziej rachunkowych, ale dobrze jest je rozumieć. Na poziomie podstawowym częściej będzie wykorzystywany pierwszy wzór pitagorejski na sinus i cosinus.
3. Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych
Na maturze bardzo często pojawiają się kąty: \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\). Warto znać ich wartości “z głowy”, bo mocno przyspiesza to rozwiązania.
| Kąt | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(30^\circ\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(1\) | \(0\) | niezdefiniowana |
W zadaniach często wystarczy podstawić te wartości i wykonać proste działania algebraiczne.
Przykład 2 – obliczanie wartości wyrażenia
Oblicz wartość wyrażenia:
\[
W = \sin 30^\circ + 2 \cos 60^\circ – \tan 45^\circ
\]
Podstawiamy z tabeli:
- \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\),
- \(\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\),
- \(\tan 45^\circ = 1\).
\[
W = \frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{2} – 1 = \frac{1}{2} + 1 – 1 = \frac{1}{2}
\]
Odpowiedź: \(W = \dfrac{1}{2}\).
4. Kąty w układzie współrzędnych – rozszerzenie definicji
Do tej pory rozpatrywaliśmy tylko kąty ostre w trójkącie prostokątnym. W gimnazjum/liceum rozszerza się definicję funkcji trygonometrycznych na wszystkie kąty (np. od \(0^\circ\) do \(360^\circ\) i więcej) za pomocą okręgu jednostkowego.
Wyobraź sobie okrąg o promieniu 1 w układzie współrzędnych, ze środkiem w punkcie \((0,0)\). Bierzemy kąt \(\alpha\) od osi \(Ox\) i patrzymy na punkt, w którym ramie końcowe kąta przecina okrąg. Niech ten punkt ma współrzędne \((x,y)\). Wtedy:
- \(\cos\alpha = x\),
- \(\sin\alpha = y\),
- \(\tan\alpha = \dfrac{y}{x}\), o ile \(x \neq 0\).
Pojawiają się wtedy znaki funkcji trygonometrycznych w różnych ćwiartkach:
| Ćwiartka układu | Zakres kątów | Znaki funkcji |
|---|---|---|
| I | \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\) | \(\sin\alpha > 0\), \(\cos\alpha > 0\), \(\tan\alpha > 0\) |
| II | \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) | \(\sin\alpha > 0\), \(\cos\alpha < 0\), \(\tan\alpha < 0\) |
| III | \(180^\circ < \alpha < 270^\circ\) | \(\sin\alpha < 0\), \(\cos\alpha < 0\), \(\tan\alpha > 0\) |
| IV | \(270^\circ < \alpha < 360^\circ\) | \(\sin\alpha < 0\), \(\cos\alpha > 0\), \(\tan\alpha < 0\) |
Ta informacja jest bardzo ważna przy zadaniach typu: “Dana jest wartość \(\sin\alpha\) oraz informacja, w której ćwiartce leży kąt \(\alpha\). Oblicz \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\)”.
Przykład 3 – obliczanie innych funkcji z jednej wartości
Wiadomo, że \(\sin\alpha = \dfrac{3}{5}\) oraz \(\alpha\) jest kątem ostrym. Oblicz \(\cos\alpha\) i \(\tan\alpha\).
- Skoro \(\alpha\) jest ostry, to \(\sin\alpha > 0\), \(\cos\alpha > 0\), \(\tan\alpha > 0\).
- Korzystamy z: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).
- \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1\)
- \(\dfrac{9}{25} + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \cos^2\alpha = 1 – \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\).
- \(\cos\alpha = \dfrac{4}{5}\) (bierzemy znak dodatni, bo kąt ostry).
- \(\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}\).
Odpowiedź: \(\cos\alpha = \dfrac{4}{5}\), \(\tan\alpha = \dfrac{3}{4}\).
5. Wzory na kąty dopełniające i przyległe
Bardzo często na maturze wykorzystuje się proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi różnych kątów. Najważniejsze to:
5.1. Kąty dopełniające do \(90^\circ\)
Dwa kąty są dopełniające, jeśli ich suma wynosi \(90^\circ\). Dla takich kątów zachodzi:
\[
\sin(90^\circ – \alpha) = \cos\alpha
\]
\[
\cos(90^\circ – \alpha) = \sin\alpha
\]
\[
\tan(90^\circ – \alpha) = \cot\alpha
\]
\[
\cot(90^\circ – \alpha) = \tan\alpha
\]
Przykład prostego zastosowania:
\[
\sin 30^\circ = \cos 60^\circ, \quad \sin 20^\circ = \cos 70^\circ
\]
5.2. Kąty przyległe – różnica do \(180^\circ\)
Kąty przyległe sumują się do \(180^\circ\). Przy przekształceniach często korzysta się z:
\[
\sin(180^\circ – \alpha) = \sin\alpha
\]
\[
\cos(180^\circ – \alpha) = -\cos\alpha
\]
Na poziomie podstawowym są to już wzory bardziej “dodatkowe”, ale pojawiają się w zadaniach, gdy kąty są większe niż \(90^\circ\).
6. Wzory redukcyjne – kąty o tej samej wartości bezwzględnej
W praktyce wystarczy, że będziesz pamiętać sens następujących zależności (dla kątów w stopniach):
- \(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\)
- \(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\)
- \(\tan(-\alpha) = -\tan\alpha\)
oraz:
- \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha\)
- \(\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha\)
Możesz się tym posłużyć, jeśli w zadaniu pojawi się np. \(\sin 210^\circ\) – wtedy zauważasz, że:
\[
\sin 210^\circ = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}
\]
7. Wzory na sumę i różnicę kątów (bardziej rozszerzone, ale przydatne)
Na podstawowym poziomie rzadziej, ale jednak pojawiają się zadania, gdzie warto znać wzory na sinus i cosinus sumy kątów. Przydają się też, gdy trzeba udowodnić jakąś tożsamość trygonometryczną.
\[
\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta
\]
\[
\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta
\]
\[
\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta
\]
\[
\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta
\]
Jeśli działasz na poziomie podstawowym i widzisz te wzory na karcie wzorów, spróbuj je rozpoznawać w zadaniach: często chodzi o to, żeby wyrażenie typu \(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\) zamienić na \(\sin(\alpha+\beta)\).
Przykład 4 – rozpoznanie wzoru na sinus sumy
Uprość wyrażenie:
\[
W = \sin 30^\circ \cos 60^\circ + \cos 30^\circ \sin 60^\circ
\]
Widzimy, że ma ono postać: \(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\), więc:
\[
W = \sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1
\]
Odpowiedź: \(W = 1\).
8. Trygonometria w geometrii płaskiej – najczęstsze typy zadań
8.1. Obliczanie brakującego boku
Typowe zadanie: w trójkącie prostokątnym znamy jeden bok i jeden kąt ostry – mamy obliczyć inny bok. Wtedy:
- Jeśli znasz przeciwprostokątną i kąt – użyj \(\sin\) lub \(\cos\).
- Jeśli znasz jedną przyprostokątną i kąt – możesz użyć \(\tan\) lub \(\cot\).
8.2. Obliczanie miary kąta
Np. znane są długości przyprostokątnych, trzeba obliczyć miarę kąta. Wtedy używasz przeciwnej funkcji (odwrotnej liczbowo):
- Jeśli masz \(\dfrac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\) – używasz \(\sin\) i na kalkulatorze szukasz \(\arcsin\) (czyli \(\sin^{-1}\)).
- Jeśli masz \(\dfrac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\) – używasz \(\cos\) i na kalkulatorze szukasz \(\arccos\).
- Jeśli masz \(\dfrac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}\) – używasz \(\tan\) i \(\arctan\).
8.3. Trygonometria w zadaniach tekstowych
Przykłady typowych tekstowych zadań maturalnych:
- wysokość drzewa na podstawie cienia i kąta padania promieni słonecznych,
- wysokość budynku, gdy znamy odległość od obserwatora i kąt wzniesienia,
- odległość między dwoma punktami w terenie na podstawie kątów obserwacji itp.
W każdym takim zadaniu sprowadzasz sytuację do trójkąta prostokątnego, oznaczasz boki i kąty, a następnie wybierasz odpowiednią funkcję trygonometryczną.
9. Prosty kalkulator trygonometryczny (stopnie)
Poniżej prosty kalkulator, który przelicza wartości \(\sin\), \(\cos\) i \(\tan\) dla podanego kąta w stopniach. Pamiętaj, że w JavaScript funkcje trygonometryczne działają na radianach, więc w tle przeliczamy stopnie na radiany.
10. Prosty wykres funkcji sinus i cosinus
Aby lepiej zrozumieć, jak zachowują się funkcje trygonometryczne, warto spojrzeć na ich wykresy. Poniżej znajduje się prosty, responsywny wykres \(\sin x\) i \(\cos x\) w przedziale od \(0^\circ\) do \(360^\circ\). Oś pozioma przedstawia kąt w stopniach, a oś pionowa – wartość funkcji.